(Actualisé avec Schäuble §4 et Platow Brief §8-9)

FRANCFORT, 4 octobre (Reuters) - Deutsche Bank a gagné jusqu'à 3,5% à la Bourse de Francfort mardi, prolongeant son mouvement de reprise entamé vendredi après avoir touché un plus bas historique la semaine dernière dans un contexte de vives inquiétudes pour son avenir.

Dans la crainte d'une contagion ou d'une crise majeure, des clients et même des concurrents ont exprimé leur soutien à la banque qui est menacée d'une lourde amende aux Etats-Unis.

Le président du directoire John Cryan et son directeur financier Marcus Schenck se sont envolés mardi pour Washington, officiellement pour rencontrer des clients et assister à la conférence annuelle du Fonds monétaire international mais probablement aussi pour un échange avec les autorités de régulation. Une source proche du groupe a dit à Reuters qu'il serait "surprenant" que John Cryan ne saisisse pas l'occasion pour plaider la défense de la banque.

Le ministre des Finances Wolfgang Schäuble assistera aussi à la grand-messe du FMI mais une source du ministère a assuré qu'il n'aurait pas de contact avec les autorités au sujet de Deutsche Bank. "C'est une affaire entre la banque et les autorités américaines. Nous n'allons pas avoir la main lourde dans ce dossier", a dit la source.

Deutsche Bank jette toute son énergie pour régler avant le 8 novembre, date de l'élection présidentielle américaine, le litige lié à la vente de titres adossés à des créances hypothécaires avant la crise des "subprimes".

Mi-septembre, le département américain de la Justice a fait savoir qu'il réclamerait jusqu'à 14 milliards de dollars (12,5 milliards d'euros) à la banque, ce qui a précipité la chute de son cours de Bourse jusqu'à un record de 9,898 euros durant la séance de vendredi.

Mais le titre a rebondi le jour même de 6,4% après une information de presse disant que Deutsche Bank et le département de la Justice étaient proches d'un accord comportant une amende ramenée à 5,4 milliards.

Il a confirmé ce rebond lundi en gagnant encore 1,51% à 11,76 euros à Francfort, après être monté en séance jusqu'à 11,98.

Après la clôture, la lettre d'information financière Platow Brief a rapporté que la banque espérait conclure d'ici la fin du mois avec la justice américaine un accord amiable prévoyant le paiement d'une amende de quatre à cinq milliards de dollars.

Deutsche Bank envisage de ne pas verser de bonus et de procéder à une augmentation de capital, ajoute Platow Brief sans citer ses sources.

Malgré le rebond du titre sur les deux dernières séances, il reste en baisse de près de 48% depuis le début de l'année, un recul deux fois plus important que celui de l'indice Stoxx du secteur bancaire européen.

Au cours du week-end, des dirigeants de grandes entreprises allemandes, telles que BASF, Daimler, E.ON , RWE et Siemens ont uni leur forces pour prendre la défense de Deutsche Bank dans un article publié en première page du journal Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung.

Deutsche Bank a également reçu le soutien de ses pairs avec notamment Jamie Dimon, directeur général de JP Morgan disant qu'il ne voyait pas pourquoi la banque allemande ne pourrait pas surmonter ses problèmes.

De son côté, tout en abaissant son objectif de cours sur la valeur, HSBC a estimé que les craintes relatives à la solvabilité de la banque étaient exagérées. (Arno Schütze et Kathrin Jones; Benoit Van Overstraeten et Véronique Tison pour le service français)